W połowie maja 2026 roku OpenAI poinformowało, że jeden z jego wewnętrznych modeli AI obalił hipotezę Erdősa o odległości jednostkowej. To zagadnienie z geometrii dyskretnej, które przez 80 lat opierało się próbom ludzkiej matematyki. Kilku zaproszonych matematyków miało wgląd w wynik przed publikacją — ich opinie, choć entuzjastyczne, były też pełne niuansów.
Najważniejsze w skrócie
- Model AI obalił — nie udowodnił — hipotezę Erdősa, pokazując, że istnieje układ punktów dający więcej odległości jednostkowych niż przewidywała hipoteza
- Laureat Medalu Fieldsa Tim Gowers nazwał wynik „kamieniem milowym w matematyce AI"
- AI zastosowało techniki z algebry liczb algebraicznych i siatek w przestrzeni wielowymiarowej — narzędzia nieoczywiste w kontekście tego problemu
- Matematyk Will Sawin pokazał, że wynik AI implikuje wzrost co najmniej n^1,014 — więcej niż zakładał Erdős
- Tego samego tygodnia Google ogłosiło, że jego system AI rozwiązał 9 otwartych problemów Erdősa
- GPT-5.5 może obalić hipotezę z małą podpowiedzią — odkrycie, które samo w sobie jest zaskakujące
Problem odległości jednostkowej
W 1946 roku węgierski matematyk Paul Erdős sformułował proste pytanie: ile par punktów rozmieszczonych na płaszczyźnie może być dokładnie w odległości 1 od siebie? Ściśle mówiąc, interesował go górny i dolny kres tej liczby przy rosnącym n — liczbie punktów. Zamiast szukać dokładnych wartości, Erdős zaproponował siatkę kwadratową jako punkt startowy i ustalił, że optymalna liczba odległości jednostkowych rośnie wolniej niż n², ale nieco szybciej niż n.
Przez 80 lat matematycy zakładali, że Erdős ma rację co do kierunku. Najlepszy znany dolny kres to n^(1 + C/log log n). Górny kres ustalono na ok. n^1,333. Erdős sądził, że prawdziwa wartość jest bliżej dolnego kresu — innymi słowy, że jego siatka jest niemal optymalna.
Model AI OpenAI udowodnił, że tak nie jest.
Jak AI obaliło hipotezę
Zamiast szukać dowodu na słuszność hipotezy, model skonstruował kontrprzykład: układ n punktów dający więcej odległości jednostkowych niż prognozował Erdős.
Kluczowy pomysł polegał na zbudowaniu siatki w przestrzeni wielowymiarowej z użyciem tzw. liczb algebraicznych (algebraic integers), a następnie rzutowaniu tej struktury na płaszczyznę dwuwymiarową. Taka siatka ma bogatszą strukturę matematyczną niż prosta siatka kwadratowa Erdősa — co pozwala upakować więcej odległości jednostkowych przy tej samej liczbie punktów.
Matematyk Will Sawin, jeden z recenzentów wyniku, wykazał następnie, że konstrukcja AI implikuje dolny kres co najmniej n^1,014 — wyraźnie powyżej poprzednio najlepszej wartości. Wynik AI nie rozstrzyga jednak w pełni problemu: górny kres n^1,333 wciąż stoi nienaruszony. Między n^1,014 a n^1,333 pozostaje luka, którą trzeba jeszcze zamknąć.
Dlaczego AI, a nie człowiek
Problem tkwił nie w braku pomysłów, ale w pewności co do kierunku poszukiwań. Większość matematyków zakładała, że Erdős ma rację, więc szukali dowodu hipotezy, nie kontrprzykładu. Profesor Jacob Tsimerman z Uniwersytetu Toronto przyznał, że sam rozważał analogiczne podejście — ale porzucił je jako zbyt żmudne i mało perspektywiczne. Szacowany nakład pracy był po prostu zbyt duży w stosunku do spodziewanego sukcesu.
AI nie ma takich oporów. Model może systematycznie testować strategie, które człowiekowi wydają się nieopłacalne. Co ważne — według danych OpenAI nawet przy maksymalnym budżecie tokenów model znajdował rozwiązanie tylko w połowie prób. Wynik był więc powtarzalny, ale nie trywialny.
Drugim czynnikiem była wiedza. Zastosowane techniki algebraiczne pochodzą z dziedziny dalekiej od geometrii dyskretnej. AI, wytrenowane na ogromnych zbiorach matematycznych tekstów, potrafi łączyć odległe obszary wiedzy — co dla specjalisty skupionego na jednym polu bywa utrudnione przez naturalne ograniczenia ekspertyzy.
Kontekst: co w tym samym czasie robi Google
Dwa dni po ogłoszeniu OpenAI, 22 maja, Google poinformowało, że jego system AI rozwiązał 9 otwartych problemów Erdősa, w tym dwa, które czekały na odpowiedź ponad 50 lat. To oddzielne osiągnięcie, z innym podejściem technicznym, ale pokazuje, że kilka laboratoriów jednocześnie eksploruje matematykę Erdősa jako poligon testowy dla autonomicznych systemów AI.
Wcześniej w centrum uwagi był AlphaEvolve od Google DeepMind — system, który wykorzystuje modele językowe jako silnik optymalizacji. Gdy problem da się zapisać jako kod do zoptymalizowania, AlphaEvolve potrafi znaleźć rozwiązania lepsze od ludzkich. Cztery zespoły matematyczne przeanalizowały go w listopadzie 2025 na 67 problemach optymalizacyjnych i potwierdziły poprawę w niektórych przypadkach. OpenAI poszło jednak krok dalej: ich model nie tylko optymalizował, ale samodzielnie skonstruował dowód matematyczny.
Dlaczego to ważne?
Wyniki OpenAI i Google zamykają dyskusję o tym, czy modele językowe mogą uczestniczyć w produkcji nowej wiedzy matematycznej. Odpowiedź brzmi: tak, i to nie tylko w kategoriach asystowania — ale autonomicznego rozstrzygania otwartych pytań.
Jednocześnie warto zachować precyzję co do tego, co dokładnie się stało. AI nie wymyśliło całkowicie nowej techniki matematycznej — zastosowało kombinację istniejących narzędzi w nieoczywisty sposób. Dowód wymagał weryfikacji i rozbudowania przez ludzi. Wynik zamknął jeden problem, ale zostawił lukę między n^1,014 a n^1,333, która czeka na kolejne prace.
Bardziej niż pojedynczy przełom, wynik OpenAI to sygnał zmiany dynamiki: AI jest teraz w stanie samodzielnie wskazać kierunek, który matematycy później rozwijają. Jeszcze rok temu modele językowe dopiero zdawały egzaminy na poziomie olimpiad szkolnych. Dziś wnoszą wkład do matematyki badawczej. To progresja szybsza, niż większość matematyków się spodziewała.
Co dalej?
- Luka między dolnym kresem n^1,014 (wynik AI) a górnym n^1,333 pozostaje otwarta — zamknięcie jej to następne naturalne zadanie zarówno dla ludzi, jak i systemów AI
GPT-5.5, ogólnodostępny model OpenAI, potrafi obalić hipotezę przy małej podpowiedzi — jak odkrył doktorant Xiao Ma tuż po ogłoszeniu wyników; OpenAI zapowiedziało, że zbada, ile innych znanych problemów może być w zasięgu dostępnych modeli
- Lista problemów Erdősa, utrzymywana przez matematyka Thomasa Blooma pod adresem erdosproblems.com, staje się de facto benchmarkiem dla autonomicznych systemów matematycznych — kolejne laboratoria zapowiedziały własne ataki na wybrane pozycje z tej listy
Źródła
- Ars Technica — An OpenAI model solved a famous math problem that stumped humans for 80 years
- OpenAI — Model disproves discrete geometry conjecture
- arXiv / Will Sawin — Extensions of the unit distance result
- arXiv / OpenAI — Unit distance problem — mathematicians' remarks
- Google Research — AI solves nine open Erdős problems
